寫在最前面：本文內容主要來自于書籍《推薦系統實踐》和《推薦系統與深度學習》。
推薦系統是目前互聯網世界最常見的智能產品形式。從電子商務、音樂視頻網站，到作為互聯網經濟支柱的在線廣告和新穎的在線應用推薦，到處都有推薦系統的身影。推薦算法是推薦系統的核心，其本質是通過一定的方式將用戶和物品聯系起來，而不同的推薦系統利用了不同的方式。
推薦系統的主要功能是以個性化的方式幫助用戶從極大的搜索空間中快速找到感興趣的對象。因此，目前所用的推薦系統多為個性化推薦系統。個性化推薦的成功應用需要兩個條件：
在推薦系統的眾多算法中，基于協同的推薦和基于內容的推薦在實踐中得到了最廣泛的應用。本文也將從這兩種算法開始，結合時間、地點上下文環境以及社交環境，對常見的推薦算法做一個簡單的介紹。
基于內容的算法的本質是對物品內容進行分析，從中提取特征，然后基于用戶對何種特征感興趣來推薦含有用戶感興趣特征的物品。因此，基于內容的推薦算法有兩個最基本的要求：
下面我們以一個簡單的電影推薦來介紹基于內容的推薦算法。
現在有兩個用戶A、B和他們看過的電影以及打分情況如下：
其中問好（?）表示用戶未看過。用戶A對《銀河護衛隊 》《變形金剛》《星際迷航》三部科幻電影都有評分，平均分為 4 .7 分 （ (5+4+5 ) / 3=4.7 ）；對《三生三世》《美人魚》《北京遇上西雅圖》三部愛情電影評分平均分為 2.3 分 （ ( 3十2+2 ) /3=2.3 ）。現在需要給A推薦電影，很明顯A更傾向于科幻電影，因此推薦系統會給A推薦獨立日。而對于用戶B，通過簡單的計算我們可以知道更喜歡愛情電影，因此給其推薦《三生三世》。當然，在實際推薦系統中，預測打分比這更加復雜些，但是其原理是一樣的。
現在，我們可以將基于內容的推薦歸納為以下四個步驟：
通過上面四步就能快速構建一個簡單的推薦系統。基于內容的推薦系統通常簡單有效，可解釋性好，沒有物品冷啟動問題遲賣鍵。但他也有兩個明顯的缺點：
最后，順便提一下特征提取方法：對于某些特征較為明確的物品，一般可以直接對其打標簽，如電影類別。而對于文本類別的特征，則主要是其主題情感等，則些可以通過tf-idf或LDA等方法得到。
基于協同的算法在很多地方碼巧也叫基于鄰域的算法，主要可分為兩種：基于用戶的協同算法和基于物品的協同算法。
啤酒和尿布的故事在數據挖掘領域十分有名，該故事講述了美國沃爾瑪超市統計發現啤酒和尿布一起被購買的次數非常多，因此將啤酒和尿布擺在了一起，最后啤酒和尿布的銷量雙雙增加了。這便是一個典型的物品協同過濾的例子。
基于物品的協同過濾指基于物品的行為相似度（如啤酒尿布被同時購買）來進行物品推薦。該算法認為，物品A和物品B具有很大相似度是因為喜歡物品A的用戶大都也喜歡物品B。
基于物品的協同過濾算法主要分為兩步：
基于物品的協同過濾算法中計算物品相似度的方法有以下幾種：
（1）基于共同喜歡物品的用戶列表計算。
此外，John S. Breese再其論文中還提及了IUF（Inverse User Frequence，逆用戶活躍度）的參數，其認為活躍用戶對物品相似度的貢獻應該小于配野不活躍的用戶，應該增加IUF參數來修正物品相似度的公式：
上面的公式只是對活躍用戶做了一種軟性的懲罰， 但對于很多過于活躍的用戶， 比如某位買了當當網80%圖書的用戶， 為了避免相似度矩陣過于稠密， 我們在實際計算中一般直接忽略他的興趣列表， 而不將其納入到相似度計算的數據集中。
（2）基于余弦相似度計算。
（3）熱門物品的懲罰。
從上面（1）的相似度計算公式中，我們可以發現當物品 i 被更多人購買時，分子中的 N(i) ∩ N(j) 和分母中的 N(i) 都會增長。對于熱門物品，分子 N(i) ∩ N(j) 的增長速度往往高于 N(i)，這就會使得物品 i 和很多其他的物品相似度都偏高，這就是 ItemCF 中的物品熱門問題。推薦結果過于熱門，會使得個性化感知下降。以歌曲相似度為例，大部分用戶都會收藏《小蘋果》這些熱門歌曲，從而導致《小蘋果》出現在很多的相似歌曲中。為了解決這個問題，我們對于物品 i 進行懲罰，例如下式， 當α∈(0, 0.5) 時，N(i) 越小，懲罰得越厲害，從而使熱門物品相關性分數下降（ 博主注：這部分未充分理解 ）：
此外，Kary pis在研究中發現如果將ItemCF的相似度矩陣按最大值歸一化， 可以提高推薦的準確率。 其研究表明， 如果已經得到了物品相似度矩陣w， 那么可以用如下公式得到歸一化之后的相似度矩陣w'：
歸一化的好處不僅僅在于增加推薦的準確度，它還可以提高推薦的覆蓋率和多樣性。一般來說，物品總是屬于很多不同的類，每一類中的物品聯系比較緊密。假設物品分為兩類——A和B， A類物品之間的相似度為0.5， B類物品之間的相似度為0.6， 而A類物品和B類物品之間的相似度是0.2。 在這種情況下， 如果一個用戶喜歡了5個A類物品和5個B類物品， 用ItemCF給他進行推薦， 推薦的就都是B類物品， 因為B類物品之間的相似度大。 但如果歸一化之后， A類物品之間的相似度變成了1， B類物品之間的相似度也是1， 那么這種情況下， 用戶如果喜歡5個A類物品和5個B類物品， 那么他的推薦列表中A類物品和B類物品的數目也應該是大致相等的。 從這個例子可以看出， 相似度的歸一化可以提高推薦的多樣性。
那么，對于兩個不同的類，什么樣的類其類內物品之間的相似度高，什么樣的類其類內物品相似度低呢？一般來說，熱門的類其類內物品相似度一般比較大。如果不進行歸一化，就會推薦比較熱門的類里面的物品，而這些物品也是比較熱門的。因此，推薦的覆蓋率就比較低。相反，如果進行相似度的歸一化，則可以提高推薦系統的覆蓋率。
最后，利用物品相似度矩陣和用戶打過分的物品記錄就可以對一個用戶進行推薦評分：
基于用戶的協同算法與基于物品的協同算法原理類似，只不過基于物品的協同是用戶U購買了A物品，會計算經常有哪些物品與A一起購買（也即相似度），然后推薦給用戶U這些與A相似的物品。而基于用戶的協同則是先計算用戶的相似性（通過計算這些用戶購買過的相同的物品），然后將這些相似用戶購買過的物品推薦給用戶U。
基于用戶的協同過濾算法主要包括兩個步驟：
步驟（1）的關鍵是計算用戶的興趣相似度，主要是利用用戶的行為相似度計算用戶相似度。給定用戶 u 和 v，N(u) 表示用戶u曾經有過正反饋（譬如購買）的物品集合，N(v) 表示用戶 v 曾經有過正反饋的物品集合。那么我們可以通過如下的 Jaccard 公式簡單的計算 u 和 v 的相似度：
或通過余弦相似度：
得到用戶之間的相似度之后，UserCF算法會給用戶推薦和他興趣最相似的K個用戶喜歡的物品。如下的公式度量了UserCF算法中用戶 u 對物品 i 的感興趣程度：
首先回顧一下UserCF算法和ItemCF算法的推薦原理：UserCF給用戶推薦那些和他有共同興趣愛好的用戶喜歡的物品， 而ItemCF給用戶推薦那些和他之前喜歡的物品具有類似行為的物品。
（1）從推薦場景考慮
首先從場景來看，如果用戶數量遠遠超過物品數量，如購物網站淘寶，那么可以考慮ItemCF，因為維護一個非常大的用戶關系網是不容易的。其次，物品數據一般較為穩定，因此物品相似度矩陣不必頻繁更新，維護代價較小。
UserCF的推薦結果著重于反應和用戶興趣相似的小群體的熱點，而ItemCF的推薦結果著重于維系用戶的歷史興趣。換句話說，UserCF的推薦更社會化，反應了用戶所在小型興趣群體中物品的熱門程度，而ItemCF的推薦更加個性化，反應了用戶自己的個性傳承。因此UserCF更適合新聞、微博或微內容的推薦，而且新聞內容更新頻率非常高，想要維護這樣一個非常大而且更新頻繁的表無疑是非常難的。
在新聞類網站中，用戶的興趣愛好往往比較粗粒度，很少會有用戶說只看某個話題的新聞，而且往往某個話題也不是每天都會有新聞。 個性化新聞推薦更強調新聞熱點，熱門程度和時效性是個性化新聞推薦的重點，個性化是補充，所以 UserCF 給用戶推薦和他有相同興趣愛好的人關注的新聞，這樣在保證了熱點和時效性的同時，兼顧了個性化。
（2）從系統多樣性（也稱覆蓋率，指一個推薦系統能否給用戶提供多種選擇）方面來看，ItemCF的多樣性要遠遠好于UserCF，因為UserCF更傾向于推薦熱門物品。而ItemCF具有較好的新穎性，能夠發現長尾物品。所以大多數情況下，ItemCF在精度上較小于UserCF，但其在覆蓋率和新穎性上面卻比UserCF要好很多。
在介紹本節基于矩陣分解的隱語義模型之前，讓我們先來回顧一下傳統的矩陣分解方法SVD在推薦系統的應用吧。
基于SVD矩陣分解在推薦中的應用可分為如下幾步：
SVD在計算前會先把評分矩陣 A 缺失值補全，補全之后稀疏矩陣 A 表示成稠密矩陣，然后將分解成 A' = U∑V T 。但是這種方法有兩個缺點：（1）補成稠密矩陣后需要耗費巨大的儲存空間，對這樣巨大的稠密矩陣進行儲存是不現實的；（2）SVD的計算復雜度很高，對這樣大的稠密矩陣中進行計算式不現實的。因此，隱語義模型就被發明了出來。
更詳細的SVD在推薦系統的應用可參考 奇異值分解SVD簡介及其在推薦系統中的簡單應用 。
隱語義模型（Latent Factor Model）最早在文本挖掘領域被提出，用于找到文本的隱含語義。相關的算法有LSI，pLSA，LDA和Topic Model。本節將對隱語義模型在Top-N推薦中的應用進行詳細介紹，并通過實際的數據評測該模型。
隱語義模型的核心思想是通過隱含特征聯系用戶興趣和物品。讓我們通過一個例子來理解一下這個模型。
現有兩個用戶，用戶A的興趣涉及偵探小說、科普圖書以及一些計算機技術書，而用戶B的興趣比較集中在數學和機器學習方面。那么如何給A和B推薦圖書呢？
我們可以對書和物品的興趣進行分類。對于某個用戶，首先得到他的興趣分類，然后從分類中挑選他可能喜歡的物品。簡言之，這個基于興趣分類的方法大概需要解決3個問題：
對于第一個問題的簡單解決方案是找相關專業人員給物品分類。以圖書為例，每本書出版時，編輯都會給出一個分類。但是，即使有很系統的分類體系，編輯給出的分類仍然具有以下缺點：（1）編輯的意見不能代表各種用戶的意見；（2）編輯很難控制分類的細粒度；（3）編輯很難給一個物品多個分類；（4）編輯很難給一個物品多個分類；（5）編輯很難給出多個維度的分類；（6）編輯很難決定一個物品在某一個類別中的權重。
為了解決上述問題，研究員提出可以從數據出發，自動找到那些分類，然后進行個性化推薦。隱語義模型由于采用基于用戶行為統計的自動聚類，較好地解決了上面提出的5個問題。
LFM將矩陣分解成2個而不是3個：
推薦系統中用戶和物品的交互數據分為顯性反饋和隱性反饋數據。隱式模型中多了一個置信參數，具體涉及到ALS（交替最小二乘法，Alternating Least Squares）中對于隱式反饋模型的處理方式——有的文章稱為“加權的正則化矩陣分解”：
一個小細節：在隱性反饋數據集中，只有正樣本（正反饋）沒有負反饋（負樣本），因此如何給用戶生成負樣本來進行訓練是一個重要的問題。Rong Pan在其文章中對此進行了探討，對比了如下幾種方法：
用戶行為很容易用二分圖表示，因此很多圖算法都可以應用到推薦系統中。基于圖的模型（graph-based model）是推薦系統中的重要內容。很多研究人員把基于領域的模型也稱為基于圖的模型，因為可以把基于領域的模型看作基于圖的模型的簡單形式。
在研究基于圖的模型之前，需要將用戶行為數據表示成圖的形式。本節的數據是由一系列用戶物品二元組 (u, i) 組成的，其中 u 表示用戶對物品 i 產生過行為。
令 G(V, E) 表示用戶物品二分圖，其中 V=V U UV I 由用戶頂點 V U 和物品節點 V I 組成。對于數據集中每一個二元組 (u, i) ，圖中都有一套對應的邊 e(v u , v i )，其中 v u ∈V U 是用戶對應的頂點，v i ∈V I 是物品i對應的頂點。如下圖是一個簡單的物品二分圖，其中圓形節點代表用戶，方形節點代表物品，用戶物品的直接連線代表用戶對物品產生過行為。比如下圖中的用戶A對物品a、b、d產生過行為。
度量圖中兩個頂點之間相關性的方法很多，但一般來說圖中頂點的相關性主要取決于下面3個因素：
而相關性高的一對頂點一般具有如下特征：
舉個例子，如下圖，用戶A和物品c、e沒有邊直連，但A可通過一條長度為3的路徑到達c，而Ae之間有兩條長度為3的路徑。那么A和e的相關性要高于頂點A和c，因而物品e在用戶A的推薦列表中應該排在物品c之前，因為Ae之間有兩條路徑。其中，（A,b,C,e）路徑經過的頂點的出度為（3，2，2，2），而 (A,d,D,e) 路徑經過了一個出度比較大的頂點D，所以 (A,d,D,e) 對頂點A與e之間相關性的貢獻要小于（A,b,C,e）。
基于上面3個主要因素，研究人員設計了很多計算圖中頂點相關性的方法，本節將介紹一種基于隨機游走的PersonalRank算法。
假設要給用戶u進行個性化推薦，可以從用戶u對應的節點 v u 開始在用戶物品二分圖上進行隨機游走。游走到任一節點時，首先按照概率α決定是繼續游走還是停止這次游走并從 v u 節點重新開始游走。若決定繼續游走，則從當前節點指向的節點中按照均勻分布隨機選擇一個節點作為游走下次經過的節點。這樣，經過很多次隨機游走后，每個物品被訪問到的概率會收斂到一個數。最終的推薦列表中物品的權重就是物品節點的訪問概率。
上述算法可以表示成下面的公式：
雖然通過隨機游走可以很好地在理論上解釋PersonalRank算法，但是該算法在時間復雜度上有明顯的缺點。因為在為每個用戶進行推薦時，都需要在整個用戶物品二分圖上進行迭代，知道所有頂點的PR值都收斂。這一過程的時間復雜度非常高，不僅無法在線進行實時推薦，離線計算也是非常耗時的。
有兩種方法可以解決上面PersonalRank時間復雜度高的問題：
（1）減少迭代次數，在收斂之前停止迭代。但是這樣會影響最終的精度。
（2）從矩陣論出發，重新涉及算法。另M為用戶物品二分圖的轉移概率矩陣，即：
網絡社交是當今社會非常重要甚至可以說是必不可少的社交方式，用戶在互聯網上的時間有相當大的一部分都用在了社交網絡上。
當前國外最著名的社交網站是Facebook和Twitter，國內的代表則是微信/QQ和微博。這些社交網站可以分為兩類：
需要指出的是，任何一個社交網站都不是單純的社交圖譜或興趣圖譜。如QQ上有些興趣愛好群可以認識不同的陌生人，而微博中的好友也可以是現實中認識的。
社交網絡定義了用戶之間的聯系，因此可以用圖定義社交網絡。我們用圖 G(V,E,w) 定義一個社交網絡，其中V是頂點集合，每個頂點代表一個用戶，E是邊集合，如果用戶va和vb有社交網絡關系，那么就有一條邊 e(v a , v b ) 連接這兩個用戶，而 w(v a , v b )定義了邊的權重。一般來說，有三種不同的社交網絡數據：
和一般購物網站中的用戶活躍度分布和物品流行度分布類似，社交網絡中用戶的入度（in degree，表示有多少人關注）和出度（out degree，表示關注多少人）的分布也是滿足長尾分布的。即大部分人關注的人都很少，被關注很多的人也很少。
給定一個社交網絡和一份用戶行為數據集。其中社交網絡定義了用戶之間的好友關系，而用戶行為數據集定義了不同用戶的歷史行為和興趣數據。那么最簡單的算法就是給用戶推薦好友喜歡的物品集合。即用戶u對物品i的興趣 p ui 可以通過如下公式計算。
用戶u和用戶v的熟悉程度描述了用戶u和用戶在現實社會中的熟悉程度。一般來說，用戶更加相信自己熟悉的好友的推薦，因此我們需要考慮用戶之間的熟悉度。下面介紹3中衡量用戶熟悉程度的方法。
（1）對于用戶u和用戶v，可以使用共同好友比例來計算他們的相似度：
上式中 out(u) 可以理解為用戶u關注的用戶合集，因此 out(u) ∩ out(v) 定義了用戶u、v共同關注的用戶集合。
（2）使用被關注的用戶數量來計算用戶之間的相似度，只要將公式中的 out(u) 修改為 in(u)：
in(u) 是指關注用戶u的集合。在無向社交網絡中，in(u)和out(u)是相同的，而在微博這種有向社交網絡中，這兩個集合的含義就不痛了。一般來說，本方法適合用來計算微博大V之間的相似度，因為大v往往被關注的人數比較多；而方法（1）適用于計算普通用戶之間的相似度，因為普通用戶往往關注行為比較豐富。
（3）除此之外，還可以定義第三種有向的相似度：這個相似度的含義是用戶u關注的用戶中，有多大比例也關注了用戶v：
這個相似度有一個缺點，就是在該相似度下所有人都和大v有很大的相似度，這是因為公式中的分母并沒有考慮 in(v) 的大小，所以可以把 in(v) 加入到上面公式的分母，來降低大v與其他用戶的相似度：
上面介紹了3種計算用戶之間相似度（或稱熟悉度）的計算方法。除了熟悉程度，還需要考慮用戶之間的興趣相似度。我們和父母很熟悉，但很多時候我們和父母的興趣確不相似，因此也不會喜歡他們喜歡的物品。因此，在度量用戶相似度時，還需要考慮興趣相似度，而興趣相似度可以通過和UserCF類似的方法度量，即如果兩個用戶喜歡的物品集合重合度很高，兩個用戶的興趣相似度很高。
最后，我們可以通過加權的形式將兩種權重合并起來，便得到了各個好有用戶的權重了。
有了權重，我們便可以針對用戶u挑選k個最相似的用戶，把他們購買過的物品中，u未購買過的物品推薦給用戶u即可。打分公式如下：
其中 w' 是合并后的權重，score是用戶v對物品的打分。
node2vec的整體思路分為兩個步驟：第一個步驟是隨機游走（random walk），即通過一定規則隨機抽取一些點的序列；第二個步驟是將點的序列輸入至word2vec模型從而得到每個點的embedding向量。
隨機游走在前面基于圖的模型中已經介紹過，其主要分為兩步：（1）選擇起始節點；（2）選擇下一節點。起始節點選擇有兩種方法：按一定規則抽取一定量的節點或者以圖中所有節點作為起始節點。一般來說會選擇后一種方法以保證所有節點都會被選取到。
在選擇下一節點方法上，最簡單的是按邊的權重來選擇，但在實際應用中需要通過廣度優先還是深度優先的方法來控制游走范圍。一般來說，深度優先發現能力更強，廣度優先更能使社區內（較相似）的節點出現在一個路徑里。
斯坦福大學Jure Leskovec教授給出了一種可以控制廣度優先或者深度優先的方法。
以上圖為例，假設第一步是從t隨機游走到v，這時候我們要確定下一步的鄰接節點。本例中，作者定義了p和q兩個參數變量來調節游走，首先計算其鄰居節點與上一節點t的距離d，根據下面的公式得到α：
一般從每個節點開始游走5~10次，步長則根據點的數量N游走根號N步。如此便可通過random walk生成點的序列樣本。
得到序列之后，便可以通過word2vec的方式訓練得到各個用戶的特征向量，通過余弦相似度便可以計算各個用戶的相似度了。有了相似度，便可以使用基于用戶的推薦算法了。
推薦系統需要根據用戶的歷史行為和興趣預測用戶未來的行為和興趣，因此大量的用戶行為數據就成為推薦系統的重要組成部分和先決條件。如何在沒有大量用戶數據的情況下設計個性化推薦系統并且讓用戶對推薦結果滿意從而愿意使用推薦系統，就是冷啟動問題。
冷啟動問題主要分為三類：
針對用戶冷啟動，下面給出一些簡要的方案：
（1）有效利用賬戶信息。利用用戶注冊時提供的年齡、性別等數據做粗粒度的個性化；
（2）利用用戶的社交網絡賬號登錄（需要用戶授權），導入用戶在社交網站上的好友信息，然后給用戶推薦其好友喜歡的物品；
（3）要求用戶在登錄時對一些物品進行反饋，手機用戶對這些物品的興趣信息，然后給用推薦那些和這些物品相似的物品；
（4）提供非個性化推薦。非個性化推薦的最簡單例子就是熱門排行榜，我們可以給用戶推薦熱門排行榜，然后等到用戶數據收集到一定的時候，在切換為個性化推薦。
對于物品冷啟動，可以利用新加入物品的內容信息，將它們推薦給喜歡過和他們相似的物品的用戶。
對于系統冷啟動，可以引入專家知識，通過一定高效的方式快速建立起物品的相關度表。
在上面介紹了一些推薦系統的基礎算法知識，這些算法大都是比較經典且現在還在使用的。但是需要注意的是，在實踐中，任何一種推薦算法都不是單獨使用的，而是將多種推薦算法結合起來，也就是混合推薦系統，但是在這里并不準備介紹，感興趣的可以查閱《推薦系統》或《推薦系統與深度學習》等書籍。此外，在推薦中非常重要的點擊率模型以及基于矩陣的一些排序算法在這里并沒有提及，感興趣的也可自行學習。
雖然現在用的很多算法都是基于深度學習的，但是這些經典算法能夠讓我們對推薦系統的發展有一個比較好的理解，同時，更重要的一點——“推陳出新”，只有掌握了這些經典的算法，才能提出或理解現在的一些更好地算法。
